Ghid metodic: Compunerea de probleme

Compunerea de probleme

Compunerea de probleme le cere elevilor să creeze enunțuri corecte, rezolvabile și adecvate nivelului, pornind de la date, operații sau reprezentări.

Această practică dezvoltă înțelegerea relațiilor (parte–întreg, aditiv/multiplicativ, raport/procent), precizia limbajului matematic, planificarea pașilor și verificarea soluției (proba). De asemenea, stimulează autonomia: elevii „văd” matematica în contexte cotidiene și transferă concepte la situații noi.

Beneficii cheie pentru elev

• Clarifică ce informații sunt suficiente și ce se cere pentru ca problema să fie rezolvabilă.
• Leagă operațiile de situații: aceeași relație poate conduce la enunțuri diferite.
• Dezvoltă gândirea generativă (variază datele/condițiile menținând metoda) și verificarea.
• Îmbunătățește comunicarea matematică: titlu, enunț, date, întrebare, răspuns complet cu unități.

Fundamente științifice pentru compunerea de probleme

Compunerea susține înțelegerea și transferul — cf. Silver, 1994; Singer, Ellerton & Cai, 2015

Elevii care formulează probleme își clarifică rolul datelor și al condițiilor, dobândind o înțelegere mai profundă a relațiilor matematice și transferă mai bine procedeele între situații.

Tipuri de compunere: structurată, semi‑structurată, liberă — cf. Stoyanova & Ellerton, 1996

Gradarea de la completarea enunțului până la formularea liberă pe o situație deschisă sprijină progresia conceptuală și lingvistică.

Procedee generative („Ce se întâmplă dacă…?”) — cf. Brown & Walter, 2005

Restrâng/relaxez o condiție, inversez relațiile, modific unitățile, generalizez, păstrând coerentă metoda de rezolvare.

Predarea prin variații („Ce e la fel? Ce e diferit?”) — cf. Sun, 2016

Seriile intenționate de variații scot la vedere trăsături critice și semnalele care activează metoda potrivită.

Concret – Pictural – Abstract și modelul cu bare — cf. Ministry of Education (Singapore), 2024; NCTM, 2014

Compunerea pornind din reprezentări concrete și picturale stabilizează legătura problemă–model–calcul și ajută la scrierea expresiei numerice.

Încărcarea cognitivă: șabloane și exemple‑perechi — cf. Sweller, Ayres & Kalyuga, 2011

Șabloanele (date/întrebare/probă) și perechile „model–enunț” reduc efortul inutil și cresc acuratețea.

Pașii metodici

Pașii sunt formulați după metodologia clasică propusă de Mihail Roșu și sunt actualizați în acord cu cercetările recente privind compunerea de probleme și predarea prin variații.

Pasul 1 – Însușirea relației/temei

• Aleg relația‑țintă (ex.: preț × cantitate; diferență unitară; raport 2:3; procent; viteză–timp–distanță).
• Actualizare: două exemple‑model (enunț ↔ model cu bare); elevii extrag structura comună.

Pasul 2 – Examinarea (judecata) pentru compunere

• Stabilesc ce date sunt necesare și suficiente și ce întrebare este compatibilă cu relația.
• Actualizare: tabel „Ce păstrez?” / „Ce variez?” pentru controlul variațiilor.

Pasul 3 – Alcătuirea planului de compunere

• Aleg tipul: structurată, semi‑structurată sau liberă; decid valorile și unitățile.
• Actualizare: criterii de calitate – claritate, corectitudine, rezolvabilitate, adecvare la nivel.

Pasul 4 – Redactarea enunțului și rezolvarea de control

• Scriu enunțul complet, indic datele și întrebarea; notez expresia numerică a rezolvării.
• Actualizare: formulez și o variantă similară cu o singură diferență (condiție sau valoare).

Pasul 5 – Activități post‑compunere

• Proba: alt coleg rezolvă problema; verific limbajul, unitățile și plauzibilitatea răspunsului.
• Actualizare: mini‑variații (schimb o cifră/condiție) și discuție asupra metodei care rămâne valabilă.

Plan de lucru

1) Relația/tema aleasă

Consemnez: adunare/scădere; înmulțire/împărțire; raport/procent; viteză–timp–distanță etc.

2) Datele problemei

Aleg valori potrivite și unități de măsură; evit datele inutile sau lipsă.

3) Întrebarea clară

Formulez cerința: „Cât/De câte ori/În total/La 1 unitate…?”.

4) Rezolvarea de control

Scriu expresia numerică și calculele ordonate; verific dacă răspunsul este plauzibil.

5) Varianta similară

Schimb o singură condiție sau o valoare și compar soluțiile.

6) Proba și răspunsul complet

Înlocuiesc valorile în enunț și redactez răspunsul complet, cu unități corecte.

Exemple de sarcini de lucru

Ex. 1 (I–II) – Compunere pentru o scădere

Dat: expresia 9 − 4. Sarcină: scrie două enunțuri diferite care conduc la 9 − 4.

Posibile enunțuri: „Pe farfurie sunt 9 biscuiți. Mănânc 4. Câți rămân?” / „Am 9 creioane și dăruiesc 4. Câte mai am?”

Rezolvarea de control: 9 − 4 = 5. Proba: înlocuiesc în enunț.

Ex. 2 (I–II) – Compunere din desen (model cu bare)

Desen: o bară de 7 unități și una de 3 unități; prima este cu 4 unități mai lungă.

Sarcină: scrie două enunțuri – unul cu „cu … mai mult”, altul cu „… mai puțin” – care duc la aceeași relație.

Rezolvarea de control: 7 − 3 = 4 (sau 3 + 4 = 7). Proba: le citesc din desen.

Ex. 3 (III) – Compunere cu total și unitar

Date date: „24 lei pentru 6 sucuri”. Sarcină: compune două probleme diferite care folosesc aceste date.

Variantă A: „Cât costă un suc?” — 24 ÷ 6 = 4 lei. Variantă B: „Câte sucuri pot cumpăra cu 24 lei dacă un suc costă 4 lei?” — 24 ÷ 4 = 6.

Ex. 4 (III–IV) – Compunere cu raport

Temă: două echipe în raport 3:2, în total 25 elevi.

Întrebarea 1: „Câți elevi are echipa mai mare?” — 25 ÷ 5 = 5; 3×5 = 15.

Întrebarea 2: „Cu câți elevi depășește echipa mai mare pe cea mică?” — 15 − 10 = 5.

Ex. 5 (IV) – Compunere cu procent (reducere)

Rezolvare de control: „După o reducere de 20%, prețul este 72 lei.”

Sarcină: compune un enunț de cumpărături care duce la acest calcul și scrie și o variantă cu majorare.

Soluții: inițial 90 lei (72 ÷ 0,8). Varianta cu majorare: „După o majorare de 25%, prețul devine 75 lei pentru un articol care costa 60 lei.”

Ex. 6 (III–IV) – Compunere cu viteză–timp–distanță

Ancoră: „În 40 de minute parcurg 5 km (ritm 8 min/km).”

Sarcină: a) formulează o întrebare despre timp pentru 10 km; b) formulează o întrebare despre distanță pentru 24 min.

Rezolvări: a) 10 × 8 = 80 min; b) 24 ÷ 8 = 3 km.

Bune practici internaționale

Singapore (Concret – Pictural – Abstract, modelul cu bare)

• Pornește compunerea din modele vizuale; cere indicarea expresiei numerice sub enunț.
• Variezi un singur element (cantitate, preț, procent), menținând structura relației.

Japonia (lecții de rezolvare structurată)

• Moment de sinteză la tablă: se ordonează enunțurile propuse de elevi de la concret la abstract.
• Se încheie cu proba publică: un elev rezolvă problema altui coleg.

Shanghai/China (predarea prin variații)

• Serii de probleme cu o singură modificare pentru a evidenția trăsăturile critice.
• Întrebări‑ancoră: „Ce e la fel? Ce e diferit?” și „Ce metodă rămâne valabilă?”

Mini rutine ușor de inserat în lecții

„Completează enunțul” (2–3 min)

Ofer datele și operația; elevii scriu două întrebări valide și răspunsurile.

„Schimb o cifră” (3 min)

Mențin metoda; schimb o valoare sau o condiție și refac rezultatul.

„Problemă din model” (4–5 min)

Pornesc dintr-un model cu bare sau o diagramă și formulez enunț + expresie numerică + probă.

„Inversul problemei” (3–4 min)

Transform cerința: de la total la unitar sau de la preț final la preț inițial etc.

Evaluare

Criterii de observare

• Corectitudine și rezolvabilitate: date suficiente, întrebare compatibilă, unități corecte.
• Claritate: enunț, pași ordonați, răspuns complet.
• Adecvare la nivel și varietate a formulărilor.
• Legătura între model și expresia numerică; proba efectuată.

Bibliografie

Brown, S. I., & Walter, M. I. (2005). The art of problem posing (ed. a 3‑a). Lawrence Erlbaum.

Ministry of Education, Singapore. (2024). Primary Mathematics Syllabus P1–P6 (Actualizat decembrie 2024). MOE.

National Council of Teachers of Mathematics. (2014). Principles to Actions: Ensuring Mathematical Success for All. NCTM.

Roșu, M. (2006). Metodica predării matematicii pentru colegiile universitare de institutori (Ed. a 2‑a). București: Universitatea din București – Editura CREDIS.

Silver, E. A. (1994). On mathematical problem posing. For the Learning of Mathematics, 14(1), 19–28.

Singer, F. M., Ellerton, N. F., & Cai, J. (2015). Mathematical problem posing: From research to effective practice. Springer.

Stoyanova, E., & Ellerton, N. F. (1996). A framework for research into students’ problem posing. In P. Clarkson (Ed.), Technology in mathematics education (pp. 518–525). MERGA.

Sun, X. (2016). Teaching and learning mathematics through variation. In How Chinese teach mathematics and improve teaching (pp. 1–20). Brill.

Sweller, J., Ayres, P., & Kalyuga, S. (2011). Cognitive load theory. Springer.