Ghid metodic: Înmulțirea în scris

Înmulțirea în scris

2 sept. 2025

Emilia Paraschiv

De ce contează

Înmulțirea în scris este primul algoritm care le cere elevilor coordonare vizuo-spațială și memorie de lucru pentru treceri peste ordin, atenție pentru așezarea numerelor unele sub altele — unități sub unități, zeci sub zeci, sute sub sute — și înțelegerea conceptului (distributivitate, produse parțiale).

O predare solidă aici accelerează împărțirea, calculul cu mărimi, problemele cu pași multipli și expresiile mixte.

Notă terminologică : numerele care se înmulțesc se numesc, ambele, nediferențiat, factori; de aceea, orice încercare de delimitare de tipul „primul factor arată…” este inutilă și inexactă.

Este de asemenea incorectă formularea „măriți numărul de… ori”, deoarece orice număr este o entitate de sine stătătoare, constantă.

Fundamente științifice

Conectează procedura de sens (seminificație matematică)
Predarea care leagă algoritmul de reprezentări (reprezentarea pe grilă, descompuneri zeci–unități) reduce încărcarea cognitivă și erorile; principiile Teoriei Încărcării Cognitive recomandă secvențe explicite, pași mici, exemple lucrate și eliminarea elementelor parazitare.
Progresie Concret–Pictural–Abstract (CPA)
Porniți de la materiale didactice concrete (manipulative), continuați cu reprezentări picturale/grafice (diagrame pe grilă, modelul ariei), apoi treceți la nivelul simbolic — Calculul în scris (scriere pe verticală): așezarea numerelor pe coloane — unități sub unități, zeci sub zeci, sute sub sute — și operarea de la dreapta la stânga. Meta-analize și revizuiri sistematice arată că această trecere etapizată, cu estompare treptată a suportului concret („concreteness fading”), întărește înțelegerea conceptuală și transferul către situații noi.
Exemple lucrate și „exemplu–problemă”
Pentru elevi, studiul unor exemple complet rezolvate (urmat de încercări ghidate) are efect mediu–robust asupra performanței la matematică; util în introducerea înmulțirii în scris.
Exersare intercalată și repetiție distribuită în timp
Alternați tipurile de sarcini (de pildă, 2–3 calcule de înmulțire urmate de un item de estimare sau o problemă scurtă) și planificați reluări periodice la intervale de câteva zile asupra acelorași tipuri de exerciții; această alternanță și distribuire temporală susțin consolidarea pe termen lung și transferul în situații noi.
Exersare prin reactualizarea tablei înmulțirii
Probele scurte (teste rapide) și jocurile de reamintire sprijină automatizarea tablei înmulțirii. Pentru rezolvarea de probleme cu structură mai complexă, efectul este diferențiat; de aceea, mențineți autoverificarea și oferiți feedback formativ, explicativ asupra pașilor și erorilor.
Neuroștiințe: rețele parietale pentru număr și aritmetică
Dezvoltarea rețelelor fronto–parietale susține trecerea de la strategii lente la proceduri automatizate; activarea vizuo-spațială e implicată mai mult la operații mai puțin automatizate (ex. produse noi).

Pașii metodici

1. De la adunare repetată la înmulțire

Pornește din mulțimi/grupe egale sau aranjamente dreptunghiulare (reprezentarea pe grilă), leagă „3 grupe a câte 4” de 3×4, apoi fixează proprietățile (comutativitate, asociativitate, distributivitate) prin exemple cu obiecte și desene.

Urmăriți automatizarea tablei înmulțirii până la evocare rapidă și corectă din memorie, ca bază pentru fluența de calcul.

Proprietățile înmulțirii (după introducere și terminologie)

Înmulțirea este totdeauna posibilă (în domeniul numerelor naturale studiate la clasă);
Înmulțirea este comutativă: a×b = b×a;
Înmulțirea este asociativă: (a×b)×c = a×(b×c);
Înmulțirea admite element neutru: 1 (a×1 = 1×a = a);
Înmulțirea dacă unul dintre factori este 0, produsul este 0;
Înmulțirea este distributivă față de adunare: a×(b+c) = a×b + a×c.

Notă metodică: formulați proprietățile în limbaj accesibil elevilor (rară utilizarea terminologiei științifice).

2. Înmulțirea cu un factor de o cifră — Calculul în scris (scriere pe verticală): așezarea numerelor pe coloane — unități sub unități, zeci sub zeci, sute sub sute — și operarea de la dreapta la stânga.

Descompuneri pe ordin (zeci/unități), calcul pe „coloane”, treceri peste ordin clar marcate. Încărcare redusă: o singură coloană odată, iar învățătorul ghidează verbal fiecare pas.

3. Înmulțirea scrisă cu un număr de două cifre – suma produselor parțiale

Se aplică proprietatea distributivă a înmulțirii față de adunare: 345×21 = 345×1 + 345×20.

Procedură consacrată: Calculul produselor parțiale pe rânduri — rândul unităților, apoi rândul zecilor; la rândul zecilor se notează zero de poziție.

Se efectuează adunarea pe coloane a produselor parțiale, cu așezarea cifrelor pe coloane (unități sub unități, zeci sub zeci, sute sub sute) și marcarea trecerilor peste ordin.

4. Verificare și control

Estimarea (rotunjiri), proba prin descompuneri, comparație cu diagrama pe grilă pentru sens.

5. Probleme aplicative și ordine de operare

După algoritm, treci la enunțuri scurte cu mărimi, apoi la expresii cu paranteze (menținând ideea produselor parțiale).

Exemple

A. Secvență CPA – introducere la 23×14

Concret (3–4 min): 2 benzi cu câte 10 pătrățele + 3 pătrățele; multiplicați cu 14 „rânduri” (benzi pe tablă magnetică).
Figurativ (5–6 min): diagrame pe grilă și descompuneri: 23×14 = (20+3)×(10+4). Elevii calculează 20×10, 20×4, 3×10, 3×4.
Abstract (6–8 min): Calculul în scris (scriere pe verticală): așezarea numerelor pe coloane — unități sub unități, zeci sub zeci, sute sub sute — și operarea de la dreapta la stânga. Se notează 0 la rândul zecilor și se adună produsele parțiale. Discuție de verificare prin estimare (≈ 20×10=200; rezultatul 322 e plauzibil).

(Conform CPA și „concreteness fading”, această trecere reduce confuziile când elevii părăsesc desenul și trec la simboluri.)

B. Exemple lucrate + „eu încerc”

Arătați, cu voce gândită, 308×24: 308×20=6160; 308×4=1232 → 7392. Apoi oferiți un item asemănător (402×23) pentru lucru individual, cu grilă de autoverificare (notați 0 la rândul zecilor, verificați estimarea).

C. Practică intercalată

2 exerciții de înmulțire în scris + 1 estimare + 1 „mini-problemă” (costuri la bilete). Revenire după 2 zile cu 2 itemi scurți (reactualizare).

Erori frecvente & prevenire

Omiterea zero-ului de poziție la rândul zecilor → regula vizuală: „rândul zecilor începe sub zeci și poartă un 0 la final”.
Așezarea greșită pe coloane → folosiți foi cu caroiaj sau aliniatoare tip riglă din carton.
Treceri peste ordin neconsemnate → exersare separată „doar treceri peste ordin” (ex.: 47×8, 56×9) înainte de combinații cu două cifre.
Procedură fără sens → reveniți la reprezentarea pe grilă/produse parțiale pentru legarea de distributivitate.
Supraîncărcare → segmentați pe pași, alternativ „eu–noi–voi”, cu pauze de verificare rapidă (semne cu degetul mare).

Ce fac sistemele educaționale de top (TIMSS/PISA)

Singapore — Progresie CPA: materiale concrete → reprezentări pe grilă/arie → Calculul în scris (scriere pe verticală): așezarea numerelor pe coloane — unități sub unități, zeci sub zeci, sute sub sute — și operarea de la dreapta la stânga. Pentru probleme se folosește modelul cu bare. Se practică variația didactică: aceeași idee, cu numere și reprezentări diferite. În practică: se folosesc bare sau diagrame de arie înainte de a trece la Calculul în scris (scriere pe verticală): așezarea numerelor pe coloane — unități sub unități, zeci sub zeci, sute sub sute — și operarea de la dreapta la stânga.
Japonia — Predare prin rezolvare structurată de probleme (hatsumon → kikan-shidō → neriage → matome): elevii propun metode multiple (reprezentarea pe grilă, descompuneri), apoi clasa rafinează soluțiile către forma standard. În lecțiile despre înmulțire în scris, profesorul orchestrează comparația între reprezentarea pe grilă și Calculul în scris (scriere pe verticală): așezarea numerelor pe coloane — unități sub unități, zeci sub zeci, sute sub sute — și operarea de la dreapta la stânga.
Estonia — Accent pe bazele solide ale numerației, autonomie la clasă și tehnologie cu sens (pentru exerciții scurte, nu în locul calculelor pe hârtie). Practica include exersare spațiată, algoritmul lucrat pe caiet, verificare estimativă și feedback concis, specific.

Evaluare & diferențiere

Rubrică simplă pe 4 criterii: aliniere, zero la zeci, treceri peste ordin consemnate, estimare.
Diferențiere – Suport: folosiți foi cu caroiaj mare și un șablon tipărit pentru calculul în scris (scriere pe verticală), cu rândul zecilor pre-trasat sub coloana zecilor; elevul lucrează pe coloane — unități sub unități, zeci sub zeci, sute sub sute — de la dreapta la stânga, pune 0 de poziție pe rândul zecilor și notează trecerile peste ordin.
Diferențiere – Extindere: compunere de problemă care se potrivește cu un calcul dat (ex.: „Unde apare 308×24 în viața reală?”).
Feedback: scurt, specific („ai aliniat zecile corect; marchează trecerea peste ordin la unități”).

Exersare

Reprezentare dreptunghiulară (mulțimi/grupe egale dispuse pe rânduri și coloane) → Calculul în scris (scriere pe verticală): așezarea numerelor pe coloane — unități sub unități, zeci sub zeci, sute sub sute — și operarea de la dreapta la stânga. Elevii completează pașii folosind descompuneri pe ordine și, la două cifre, produse parțiale urmate de adunarea pe coloane.
Vânătoare de erori: 6 calcule cu greșeli tipice (fără zero de poziție, trecere peste ordin neconsemnată).
Verificare prin estimare: 8 produse de aproximat înainte de calcul.
Repetarea tablei înmulțirii (automatizare): 12 produse din tablele 6–9, în 3 minute, „pe sărite”; reluare după 48 h.

Bibliografie

Roșu, M. (2006). Metodica predării matematicii pentru colegiile universitare de institutori. Secțiunea „Predarea înmulțirii”: proprietăți, produse parțiale, etapele calculului în scris (ex. 21×345) și verificare.
OECD (2023). PISA 2022 Results (Vol. I): The State of Learning and Equity in Education.
OECD (2023–2024). PISA 2022 – Estonia Country Notes/Insights.
IEA (2024). TIMSS 2023 – International Results.
Singapore Ministry of Education (2024, actualizat). Primary Mathematics Syllabus (P1–P6).
TIMSS Encyclopedia (2015; actualizări 2023). Education Policy and Curriculum in Mathematics and Science.
Doig, B. (2011). Japanese Lesson Study – structuri de lecții bazate pe problem solving.
Sweller, J. (2023). The Development of Cognitive Load Theory: Replication and Renewed Directions. Educational Psychology Review.
Fyfe, E. R., McNeil, N. M., Son, J. Y., & Goldstone, R. L. (2014). Concreteness Fading in Mathematics and Science Instruction: A Systematic Review.
Barbieri, C. A., et al. (2023). A Meta-analysis of the Worked Examples Effect on Mathematics Performance.
Rohrer, D. (2019). Interleaved Mathematics Practice (ERIC brief); Samani, J., et al. (2021), Interleaved practice enhances memory and problem solving.
Pastötter, B., et al. (2022); Huang, X., et al. (2023). Retrieval practice și învățarea matematicii.
Vogel, S. E., et al. (2021). Developmental brain dynamics of numerical and arithmetic processing.
Istomina, A., et al. (2024). Meta-analyses of brain correlates of arithmetic operations.