Ghid metodic: Metoda „mersului invers” în rezolvarea de probleme la învățământul primar

Metoda „mersului invers” în rezolvarea de probleme la învățământul primar

„Mersul invers” (a lucra de la întrebare spre date) este una dintre cele mai accesibile și eficiente strategii pentru elevii mici.

Îi învață să vizualizeze starea finală, să identifice pașii necesari înapoi, apoi să confirme înainte. Astfel, elevii dezvoltă controlul asupra procedurilor, înțeleg relațiile inverse (+↔−, ×↔÷, % creștere↔% complementar) și capătă încredere în situații multi‑pas.

Beneficii-cheie pentru elevul din ciclul primar

• Crește înțelegerea relațiilor inverse și a ordinii operațiilor.
• Reduce căutarea „oarbă” și clarifică lanțul logic al problemei.
• Se potrivește natural cu organizatorii grafici (model cu bare, „săgeți invers”, tabele).
• Pregătește verificarea înainte de răspuns (simularea pe cale directă).

Fundamente științifice pentru „mersul invers” în rezolvarea de probleme

1) Heuristica „work backwards” — cf. Pólya, 2004

Punct de pornire clasic: imaginarea rezultatului și căutarea stării anterioare prin pași inversați, până la datele inițiale.

2) Alinierea scop-subscop (goal decomposition) — cf. Bransford & Stein, 1984; Mayer, 2004

Începând de la scopul final, elevii identifică subscopuri și le leagă prin operații inverse.

3) Învățare sprijinită vizual (bar-model, linii) — cf. MOE Singapore, 2024; NCTM, 2014

Reprezentările picturale fac vizibile „pașii invers” și relațiile parte‑întreg.

4) Încărcarea cognitivă și „backward chaining” — cf. Sweller, Ayres & Kalyuga, 2011

Începerea de la rezultat restrânge spațiul de căutare, dacă elevul stăpânește operațiile inverse.

5) Compararea strategiilor (înainte vs. înapoi) — cf. Rittle-Johnson, Star & Durkin, 2017/2020

Discuția comparativă între soluții „înainte” și „înapoi” crește flexibilitatea procedurală.

6) Exemple rezolvate și estomparea pașilor — cf. Barbieri, Miller-Cotto, Clerjuste & Chawla, 2023

Perechile de exemple (unul „înainte”, altul „înapoi”), cu întrebări scurte, accelerează învățarea.

Pașii metodici 

Pașii de mai jos sunt inspirați de metodologia lui Mihail Roșu și integrați cu practici actuale privind „mersul invers”, compararea strategiilor și exemplele rezolvate.

Pasul 1 – Însușirea enunțului

• Citire atentă; subliniez ce se cere (starea finală) și unitățile.
• Integrare actualizată: marchează vizual „Răspunsul căutat” – punctul de start al mersului invers.

Pasul 2 – Examinarea (judecata) problemei

• Identific relațiile (parte‑întreg, procent, de X ori, adunări/scăderi succesive).
• Integrare actualizată: schițează lanțul invers în 2–4 săgeți de la final la început (ex.: „… +6? atunci înainte era … −6”).

Pasul 3 – Alcătuirea planului de rezolvare

• Notez pașii, de la răspuns spre date, ca afirmații scurte.
• Integrare actualizată: adaug în paranteză operația inversă pentru fiecare pas (+↔−; ×↔÷; % creștere↔împărțire la 1+% etc.).

Pasul 4 – Rezolvarea propriu-zisă

• Execut lanțul invers cu calcule ordonate, apoi verific înainte pe aceeași schemă.
• Integrare actualizată: prezint două soluții (înainte vs. înapoi) și discut eficiența.

Pasul 5 – Activități post rezolvare

• Verificare (plauzibilitate și înlocuire în enunț), expresia numerică a rezolvării, variații, generalizări.
• Integrare actualizată: compar o eroare tipică (inversări greșite) cu soluția corectă.

Plan de rezolvare

1) Care sunt datele problemei?

Notez toate datele și unitățile.

2) Ce trebuie să aflu?

Stabilesc starea finală (răspunsul).

3) Mersul invers – lanțul de la final la început

Ce trebuia să fie înainte de ultimul pas? Dar înainte de penultimul? (notez operațiile inverse).

4) Rezolvare

Calculez conform lanțului invers; verific pe cale directă.

5) Mă verific și formulez răspunsul

Introduc valorile în enunț și scriu răspunsul complet.

Exemple sarcini didactice

Ex. 1 (clasele I–II) – „Găsește numărul inițial”

Enunț: La un număr s-a adunat 7, apoi s-a scăzut 3 și a rezultat 18. Care era numărul la început?

Mers invers (plan): Dacă la final e 18, înainte de ultima scădere era 18 + 3 = 21; înainte de adunarea cu 7 era 21 − 7 = 14.

Verificare înainte: 14 + 7 = 21; 21 − 3 = 18.

R: Numărul a fost 14.

Ex. 2 (clasele III–IV) – „După ce a vândut o treime…”

Enunț: După ce a vândut o treime din mere, în coș au rămas 24. Câte mere a avut inițial?

Mers invers: 24 reprezintă 2/3 din total ⇒ total = 24 ÷ (2/3) = 24 × (3/2) = 36.

Verificare: O treime din 36 este 12; rămân 24.

R: 36 mere.

Ex. 3 (clasele III–IV) – „Cheltuieli în doi pași”

Enunț: După ce a cheltuit 25% din bani și apoi încă 6 lei, Andrei are 48 lei. Câți bani a avut inițial?

Mers invers: Înainte de a cheltui 6 lei avea 48 + 6 = 54. Aceștia sunt 75% din suma inițială ⇒ inițial = 54 ÷ 0,75 = 72 lei.

Verificare: 25% din 72 = 18; rămân 54; minus 6 ⇒ 48.

R: 72 lei.

Ex. 4 (clasele III–IV) – „Preț inițial necunoscut”

Enunț: Un produs a fost mai întâi scumpit cu 20%, apoi ieftinit cu 10%, iar prețul final este 99 lei. Care a fost prețul inițial?

Mers invers: 99 este 90% după reducere ⇒ înainte = 99 ÷ 0,9 = 110. Aceștia reprezintă 120% după scumpire ⇒ inițial = 110 ÷ 1,2 = 91,67 lei.

Verificare: 91,67 × 1,2 ≈ 110; 110 × 0,9 = 99.

R: ≈ 91,67 lei.

Ex. 5 (I–II, model cu bare) – „Partea și întregul”

Enunț: După ce a dăruit 6 autocolante, Mara mai are 14. Câte avea la început?

Mers invers: 14 + 6 = 20.

Verificare: 20 − 6 = 14.

R: 20 autocolante.

Bune practici internaționale

Singapore (abordare CPA și model cu bare)

• Pornește de la modelul cu bare al răspunsului, apoi „des‑faci” pașii înapoi.
• Etichetează clar operațiile inverse la fiecare săgeată.
• Exersează perechi: aceeași problemă rezolvată „înainte” și „înapoi”; elevii aleg metoda mai clară/eficientă.

Japonia (lecții de tip rezolvare de probleme structurate)

• Moment central de discurs comparativ („neriage”): se ordonează la tablă soluții „înainte”/„înapoi” pentru a scoate în evidență relațiile inverse.
• Profesorul ghidează spre generalizare: „Când merită să lucrezi înapoi? Care e semnalul din enunț?”

Shanghai/China (predarea cu variații)

• Serii de variații în care se schimbă doar ultimul pas (ex.: „la final adaugă 6” vs. „la final scade 6” vs. „la final e 1/3 din”).
• Întrebări-ancoră: „Ce e la fel?” (starea finală) „Ce e diferit?” (operația inversă necesară).

Mini rutine ușor de inserat în lecții

„De la întrebare înapoi” (2–3 min)

Elevii încercuiesc răspunsul cerut, trasează 2–3 săgeți înapoi cu operațiile inverse.

„Lanțul invers” pe tablă (5 min)

Clasa propune lanțul invers; o echipă îl verifică înainte și explică fiecare pas.

„Pereche de exemple rezolvate” (5–7 min)

Se compară soluția înainte vs. înapoi; se decide când e mai eficient „mersul invers”.

Evaluare

Criterii de observare

• Identifică starea finală și o notează explicit.
• Construiește corect lanțul invers (cu operații inverse adecvate).
• Verifică soluția pe cale directă și enunță răspunsul complet.

Bibliografie

Alfieri, L., Nokes-Malach, T. J., & Schunn, C. D. (2013). Learning through case comparisons: A meta-analytic review. Educational Psychologist, 48(2), 87–113. https://doi.org/10.1080/00461520.2013.775712

Barbieri, C. A., Miller-Cotto, D., Clerjuste, S. N., & Chawla, K. (2023). A meta-analysis of the worked examples effect on mathematics performance. Educational Psychology Review, 35, 11. https://doi.org/10.1007/s10648-023-09745-1

Bransford, J. D., & Stein, B. S. (1984). The IDEAL problem solver. W. H. Freeman.

Gentner, D. (1983). Structure-mapping: A theoretical framework for analogy. Cognitive Science, 7(2), 155–170. https://doi.org/10.1207/s15516709cog0702_3

Mayer, R. E. (2004). Should there be a three-strikes rule against pure discovery learning? American Psychologist, 59(1), 14–19. https://doi.org/10.1037/0003-066X.59.1.14

Ministry of Education, Singapore. (2024). Primary Mathematics Syllabus P1–P6 (Updated December 2024). MOE.

National Council of Teachers of Mathematics. (2014). Principles to actions: Ensuring mathematical success for all. NCTM.

Pólya, G. (2004). How to solve it (Expanded ed.). Princeton University Press. (original 1945)

Rittle-Johnson, B., Star, J. R., & Durkin, K. (2017). Learning from comparing and explaining multiple strategies. In J. I. Mestre & B. H. Ross (Eds.), Psychology of learning and motivation (Vol. 55, pp. 199–222). Academic Press. https://doi.org/10.1016/bs.plm.2016.11.003

Rittle-Johnson, B., Star, J. R., & Durkin, K. (2020). Learning from comparing and explaining multiple strategies: Current directions. Current Directions in Psychological Science, 29(5), 1–7. https://doi.org/10.1177/0963721420925519

Roșu, M. (2006). Metodica predării matematicii pentru colegiile universitare de institutori. București: CREDIS

Stigler, J. W., & Hiebert, J. (1999). The teaching gap. Free Press.

Sun, X. (2016). Teaching and learning mathematics through variation: Confucian heritage meets Western theories. In How Chinese teach mathematics and improve teaching (pp. 1–20). Brill.

Sweller, J., Ayres, P., & Kalyuga, S. (2011). Cognitive load theory. Springer.