Ghid metodic: Rezolvarea problemelor prin metoda figurativă sau grafică în ciclul primar

Rezolvarea problemelor prin metoda figurativă sau grafică în ciclul primar

Metoda figurativă (sau metoda reprezentării grafice) este o strategie didactică de rezolvare a problemelor aritmetice care constă în reprezentarea prin desen a mărimilor necunoscute și evidențierea, în același desen, a relațiilor dintre acestea și datele cunoscute ale problemei.

Această metodă îi conduce treptat pe copii de la manipularea situațiilor concrete către gândirea abstractă, fiind o punte între concret și logic în învățarea matematicii.

Reprezentările grafice facilitează formarea conceptelor, devenind surse principale ale activității gândirii și imaginației elevilor mici în matematică.

Fundamente științifice

Cercetările recente arată că gândirea copiilor de vârstă primară este preponderent vizual-imaginativă. De aceea, folosirea modelelor vizuale răspunde modului natural de procesare al copiilor, ajutându-i să înțeleagă și să rețină mai bine conceptele.

Teoria dual-coding afirmă că informația prezentată simultan sub formă vizuală și verbală se consolidează mai eficient în memorie. Suportul vizual face concret un concept abstract și reduce încărcarea cognitivă, eliberând resurse din memoria de lucru pentru rezolvarea problemei.

Numeroase cercetări confirmă beneficiile reprezentărilor vizuale: diagramele ajută la organizarea informațiilor relevante într-un singur loc și reduc efortul de memorare, făcând rezolvarea mai ușoară.

Descoperiri din neuroștiință indică faptul că rezolvarea calculelor activează atât zonele verbale, cât și rețele vizual-spațiale ale creierului. Reprezentări precum linia numerică sau diagramele de tip model cu bare sunt strâns legate de dezvoltarea gândirii numerice și de succesul ulterior în matematică.

De asemenea, curriculumul național românesc prevede explicit asocierea rezolvării unei probleme cu o reprezentare grafică/desen, confirmând importanța utilizării metodei figurative în ciclul primar.

Pașii metodici ai predării prin metoda figurativă

Înțelegerea problemei și reactualizarea cunoștințelor

Este etapa de identificare a datelor cunoscute și a necunoscutelor (ce trebuie aflat). Este util să puneți întrebări de clarificare (“Ce se cunoaște? Ce se cere?”) și să conectați problema cu experiențele elevilor, pentru a forma o imagine mentală inițială a situației. Acest pas corespunde fazei de formulare a problemei și este esențial pentru ca elevii să știe “ce se caută” înainte de a trece la desen.

Reprezentarea figurativă a datelor problemei

Presupune traducerea textului în model vizual prin desene sau segmente, în funcție de natura mărimilor.

Alegeți tipul de reprezentare potrivit naturii datelor:

1. • Dacă problema implică mărimi discrete (obiecte numărabile, cum ar fi fructe, copii, bile etc.), se pot desena simboluri sugestive (de exemplu, cerculețe, steluțe, figurine) care să reprezinte elementele respective.  La clasele mici, desenul poate fi detaliat pentru a fi cât mai intuitiv.
   • Dacă problema implică mărimi continue (lungimi, mase, sau pur și simplu numere mari abstracte), atunci modelarea prin segmente/bară este eficientă. Desenați segmente de dreaptă sau dreptunghiuri alungite (modelul cu bare), proporționale aproximativ cu mărimile din problemă. Segmentele vizualizează relațiile: de pildă, două segmente așezate unul lângă altul pot reprezenta două cantități cu suma dată, iar segmente de lungimi diferite, suprapuse parțial, pot ilustra o diferență.

Marcați pe desen relațiile cheie din enunț: sume (îmbinând segmentele pentru a forma un întreg), diferențe (comparând lungimi), multipli/raport (segmente împărțite în părți egale pentru a arăta de câte ori este mai mare o mărime față de alta) etc.

Această diagramă trebuie să surprindă doar elementele esențiale ale problemei, evitând detaliile inutile. Pe măsură ce elevii capătă experiență, încurajați-i să facă reprezentări din ce în ce mai schematice, folosind etichete sau note pe desen (de ex.: notează cu x un segment necunoscut).

Formularea raționamentului pe baza figurii

Presupune interpretarea relațiilor vizuale și corelarea lor cu operațiile aritmetice necesare.

Odată desenată figura, ghidați elevii să interpreteze ceea ce “văd” în model. Discutați cu ei, punând întrebări de tipul: “Ce reprezintă lungimea acestui segment?”, “Cum se vede în desen faptul că X are cu 3 obiecte mai mult decât Y?” etc. Scopul este ca elevii să facă legătura între relațiile grafice și operațiile necesare.

De exemplu, dacă desenul arată două segmente alăturate formând întregul (o sumă), iar unul din segmente este evidențiat ca fiind mai lung cu o porțiune, elevii pot deduce că diferența dintre segmente corespunde acelei porțiuni suplimentare.

În această etapă, raționamentul logic ocupă loc central: elevii, cu îndrumarea învățătorului, formulează pas cu pas soluția în limbaj aritmetic, sprijinindu-se pe desen.

Mihail Roșu subliniază că și în acest moment elevii trebuie să se bazeze pe înțelegerea concretă a operațiilor (ce înseamnă “împart în două părți egale”, “scad partea comună” etc.), și nu pe aplicarea mecanică a vreunei formule.

Rezolvarea calculelor și obținerea rezultatului

Este etapa în care are loc efectuarea operațiilor matematice și legarea desenului de scrierea numerică formală.

Mulți elevi vor putea acum să “vadă” soluția direct din desen; de exemplu, în problemele de tip sumă-diferență, pot identifica vizual jumătatea diferenței. Cu toate acestea, este important să legați desenul de scrierea numerică formală: scrieți expresii aritmetice corespondente acțiunilor observate în figură.

De exemplu: “Observăm în desen că, dacă înlăturăm diferența dintre segmente, cele două segmente devin egale – deci scădem 4 din totalul 18 și împărțim restul la 2” se va traduce prin calculul  (18 – 4) : 2 = 7 (dacă ar fi numere mai mari) sau alt calcul relevant.

Efectuați calculele împreună cu elevii sau lăsați-i pe ei să le efectueze, în funcție de nivel, și obțineți valorile necunoscute. Pe parcurs, folosiți terminologia corectă și conectați-o cu desenul (“acești 7 reprezintă fiecare dintre segmentele egale, adică valoarea necunoscută”).

Verificarea și formularea concluziei

În această etapă, confirmăm soluțiile numeric și vizual, formulăm răspunsul final și reflectăm asupra metodei folosite

Învățați-i pe elevi să verifice soluțiile obținute, atât numeric (prin înlocuirea rezultatului în datele problemei), cât și conceptual (raportându-se la desen: “Are sens lungimea acestui segment comparativ cu celălalt?”).

Verificarea prin figură este foarte intuitivă: elevul poate compara direct pe desen dacă relațiile inițiale sunt respectate de valorile găsite (segmentele se potrivesc pentru a reda suma totală? diferența marcată corespunde?).

După validare, rugați elevii să formuleze răspunsul final în propoziție completă, legat de contextul problemei (“Ionel are 7 mere, iar Andrei are 10 mere”, de exemplu).

Încheiați discutând pe scurt strategia folosită, evidențiind cum desenul i-a ajutat să înțeleagă și să rezolve problema. Acest moment de reflecție consolidează metoda: elevii conștientizează utilitatea reprezentării grafice și vor fi mai dispuși să o folosească independent data viitoare.

Observație didactică: La început, parcurgerea acestor pași va fi realizată sub îndrumarea strânsă a învățătorului, poate chiar frontal, la tablă. Pe măsură ce elevii se obișnuiesc, încurajați munca în perechi sau grupuri mici, astfel încât ei să discute și să deseneze împreună reprezentările (componentă ce dezvoltă și comunicarea matematică).

Treptat, elevii pot internaliza strategia: scopul final este ca metoda figurativă să devină o deprindere de rezolvare a problemelor, pe care elevii să o aplice chiar și atunci când lucrează individual.

Exemple concrete de aplicare (clasele I-IV)

Exemplul 1 (Clasa I – adunare)

Maria are 5 mere, iar Ana are 3 mere. Reprezentarea grafică prin desenarea merelor, sub forma unor cerculețe sau segmente, permite elevilor să vizualizeze adunarea.

Reprezentarea figurativă aici susține etapa concretă: copiii “văd” că, punând împreună merele Mariei și ale Anei, obțin un total de 8 mere. Aceeași problemă poate fi prezentată și sub formă de segment: un segment de lungime 5 unități alăturat de unul de 3 unități, rezultând un segment întreg de 8 unități. Concluzie: Maria și Ana au împreună 8 mere.

Exemplul 2 (Clasa a II-a – diferență)

Ionel are cu 4 caiete mai mult decât Dan. Dan are 6 caiete. Segmentul lui Ionel este mai lung cu 4 unități decât al lui Dan, deci Ionel are 10 caiete.

În desen figurativ, reprezentăm caietele sub formă de segmente: un segment pentru Dan (6 unități) și, alături de el, un segment pentru Ionel care depășește segmentul lui Dan cu o porțiune de 4 unități (pentru a arăta „cu 4 mai mult”).

Practic, segmentul Ionel va fi împărțit vizual în două părți: o parte egală ca lungime cu segmentul lui Dan (6) și o parte suplimentară de 4 unități. Elevii identifică pe desen că Ionel = Dan + 4, deci calculează  6 + 4 = 10. Verificarea pe figură: porțiunea care excede segmentul lui Dan are lungimea 4, confirmând relația dată. Răspuns: Ionel are 10 caiete.

Exemplul 3 (Clasa a III-a – sumă și diferență)

Ana și Bogdan au împreună 30 de creioane, iar Bogdan are cu 6 mai mult. Prin reprezentarea grafică, elevii deduc că Ana are 12, iar Bogdan 18 creioane.

Această problemă clasică (două necunoscute, sumă și diferență cunoscute) este ideală pentru metoda grafică. Reprezentăm Ana printr-un segment de lungime necunoscută (s-o numim x), iar Bogdan printr-un segment mai lung, deoarece are mai multe creioane. Diferența de 6 creioane se marchează pe segmentul lui Bogdan ca o parte care rămâne după ce “aliniez” capetele celor două segmente.

Practic, dacă pun segmentul Anei sub cel al lui Bogdan, va rămâne o bucată de 6 unități în plus la Bogdan. De asemenea, alăturând segmentele integral (cap la cap), ele formează împreună un întreg ce reprezintă 30 (totalul creioanelor). Pentru a rezolva, elevii raționează pe desen: dacă “tăiem” acea diferență de 6 de la Bogdan, am avea două segmente egale (presupunând temporar că Bogdan ar avea tot atâtea creioane ca Ana).

Aceste două segmente egale ar însuma atunci 30 – 6 = 24 de creioane (pentru că am eliminat diferența). Deci, fiecare segment egal (fiecare copil dacă ar avea la fel) ar reprezenta 24 ÷ 2 = 12 creioane. Aceasta corespunde numărului de creioane al Anei (x = 12). Bogdan va avea cu 6 mai mult, deci 12 + 6 = 18 creioane. Verificare: 12 + 18 = 30 (satisface suma) și 18 – 12 = 6 (satisface diferența), iar figura reflectă corect aceste valori. Concluzie: Ana are 12 creioane, Bogdan are 18 creioane.

Exemplul 4 (Clasa a IV-a – proporționalitate)

La un concurs, numărul fetelor este de 3 ori mai mare decât numărul băieților. Totalul de 32 de participanți este reprezentat prin segmente, rezultând 8 băieți și 24 de fete.

Pentru a ilustra relația de proporționalitate (raport 1:3 între băieți și fete) folosim modelul figurativ cu părți egale. Reprezentăm băieții printr-un segment împărțit în 1 parte (unitate de bază) și fetele printr-un segment împărțit în 3 părți egale (deoarece fetele = 3 × băieți).

Important: în desen, o parte (unitatea) are aceeași lungime în ambele segmente, deoarece raportul trebuie păstrat. Astfel, dacă notăm cu u lungimea corespunzătoare “unei părți” (număr de băieți), segmentul băieților are lungimea u, iar al fetelor are lungimea 3u. Cele două segmente puse cap la cap reprezintă totalul de 32 participanți. Deci, pe desen putem marca că u + 3u = 32. Elevii înțeleg de aici că 4 părți (4u) corespund lui 32, deci o parte u = 32 ÷ 4 = 8. Astfel, numărul băieților (1u) este 8, iar al fetelor (3u) este 3 × 8 = 24. Verificare: 8 + 24 = 32 total, iar raportul 24:8 = 3:1 corect. Răspuns: 8 băieți și 24 de fete.

Bune practici internaționale (TIMSS & PISA)

Țările cu rezultate de top la TIMSS și PISA valorifică intens metoda figurativă:

• Singapore: Utilizează abordarea Concrete–Pictorial–Abstract (CPA), iar metoda modelul cu bare  este centrală în predarea problemelor complexe.
• Finlanda: Predarea se bazează pe explorare, diagrame și reprezentări vizuale, accentuând înțelegerea profundă.
• Japonia: Elevii sunt încurajați să deseneze diagrame și să explice rezolvările prin reprezentări vizuale, ca parte a metodei problem solving.
• Alte exemple (Shanghai, Coreea de Sud): Accent pe heuristici vizuale și reprezentări multiple în predare.

Metoda figurativă acționează ca o schelă cognitivă între obiectul concret și simbolul abstract, conform principiilor didactice Bruneriene (etapele enactiv-iconic-simbolic, echivalentul binecunoscutului parcurs Concret – Pictural – Abstract în pedagogia modernă).

Prin experiențe repetate de acest tip, elevii dobândesc priceperi și deprinderi de a modela orice problemă aritmetică, dezvoltându-și atât gândirea logică, cât și imaginația matematică.

Bibliografie

Boaler, J., & Chen, L. (2016). Seeing as understanding: The importance of visual mathematics for our brain and learning. Stanford University, YouCubed.

Efremkin, K. (2025). Boosting working memory in elementary school. Edutopia.

Kho, T. H., Yeo, S. M., & Fan, L. (2015). The model method in Singapore primary mathematics textbooks. Proceedings of ICMT-2014.

Manalo, E., Uesaka, Y., & Khoo, S. (2010). Diagram use in solving algebra word problems: A cross-cultural analysis. Educational Studies in Mathematics, 73(1).

Singapore Ministry of Education. (2020). Singapore Mathematics Primary Syllabus.

Urban, M., & Vasilevska, D. (2021). Visual models as a means of teaching in primary math’s education: Problems of teacher training. Acta